Calcul de sommes Enoncé Calculer $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{-1^n}{n^2-1}$. On justifiera la convergence de la série. Enoncé Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ pour $n\geq 2$ est convergente, et calculer sa somme. Enoncé Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$. Enoncé Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$ Enoncé En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln1+t}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_nt=S_n-\frac{\pi^2}6$$ où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left\frac{1}{k^2+k+1}\right.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $$u_n=\frac{-1^n}{n+-1^n}.$$ Comparaison à une intégrale Enoncé Soit $\alpha\in\mathbb R$. Pour $\alpha1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^{\alpha}}.$$ Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire un équivalent simple de $R_n$. Enoncé Déterminer un équivalent simple de $\lnn!$. Enoncé Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$ Estimation des sommes partielles et du reste Enoncé Écrire un algorithme donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^n}{n\lnn+1}$. Enoncé Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{2n-15^{2n-1}}$. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près. Enoncé Pour tout entier naturel non nul, on note $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k,\ f_n=H_n-\ln n.$$ On considère également les suites $u_n_{n\geq 1}$ et $v_n_{n\geq 1}$ définies pour $n\geq 1$ par $$u_1=1\textrm{ et pour }n\geq 2, u_n=\frac 1n+\ln\left1-\frac 1n\right;$$ $$v_n=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. Justifier que les séries $\sum_{n}u_n$ et $\sum_n v_n$ sont convergentes. Dans la suite de l'exercice, on notera $\gamma=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$. Exprimer, pour $n\geq 2$, $f_n-f_{n-1}$, en fonction de $u_n$. En déduire que $f_n$ converge vers $\gamma$. Quel est le signe pour $n\geq 2$ respectivement pour $n\geq 1$ de $u_n$ respectivement de $v_n$? Démontrer que, pour tout $N\geq 2$, $$\sum_{n=2}^N \big\lnn+1+\lnn-1-2\lnn\big=\lnN+1-\lnN-\ln2.$$ On note, pour $N\geq 1$, $S_N=\sum_{n=1}^N u_n$ et $T_N=\sum_{n=1}^N v_n$. Déduire des deux questions précédentes que les suites $S_N$ et $T_N$ sont adjacentes, de limite $\gamma$. En utilisant les suites $S_N$ et $T_N$, écrire une fonction Python \verb+gammaeps+ qui donne un encadrement de $\gamma$ d'amplitude inférieur ou égal à $eps$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\lnn+1$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right$. Étudier la monotonie de $v_n$. En déduire que $v_n$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\lnn+1-\gamma$. Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln1+x=x-\int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt.$$ En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left\ln1+x-x\right\leq\frac{x^2}2.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\leftw_n-w_{n-1}\right\leq \frac{1}{2n^2}.$$ Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$ En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$w_M-w_N\leq \frac1{2N}$$ puis que $$v_N-\gamma\leq \frac{1}{2N}.$$ Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près. Enoncé On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $u_n$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left\frac1n\right$. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$ Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{\alpha-1n^{\alpha-1}}.$$ Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_ntdt=S_n-\frac{\pi^2}6.$$ Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left\frac 1n\right.$$ Enoncé Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $u_n_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}-1^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}-1^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $u_n$ vérifie les deux conditions suivantes $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $R_n+R_{n+1}=u_{n+1}$. Démontrer que la suite $R_n$ est décroissante. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{-1^{n+1} u_n}2.$